2022 五月中Collegeboard 宣布要开设AP Precaclulus 以来，网路上的讨论可说是炸了锅。
其中Reddit的讨论串更是几乎一面倒的批评。到底AP Precalculus 是什么？跟一般的Precalculus 有什么差别？对于亚洲的学生又有什么影响？
首先，我们要先了解美国学制下的数学课程。传统来说，高中四年的九年级会上Geometry, 十年级会上Algebra 2，想念科学的人十一年级必选Precalculus，以便衔接12 年级的AP Calculus (AB 或BC，视学校)。如果不是理工走向的，可能11 年级还是选Precalculus，但12 年级选AP Statistics。想要走商科优秀12 年级学生，除了统计之外，亦会同时选微积分AB。
但近年来美国学生的数学水准开始下降，很多学生到了11 年级才修完Algebra 2，这样来不及上AP Calculus。通常这些学生大学入学后，数学程度无法达标但又需要修微积分，故诸多大学开始开设所谓的College Algebra 先修课程，让这些学生能有可以上微积分的基础。就课纲来说，College Algebra 与Precalculus 的内容算是大同小异：不外乎是各种函数的运算以及应用。
我们可以从CollegeBoard 建议的课程安排中一窥端倪：
➤CollegeBoard 给的建议– 三大方向
1.Algebra 2 -> (AP) Precalculus -> AP Calculus AB/BC/Statistics
这种顺序是传统的理工科学生的并经之路，唯一的差别是现在学生可以选择上常规或AP Precalculus，其中差异本文后段会阐明。
2. Algebra 2 -> AP Statistics -> AP Calculus AB/BC/Precalculus
这种顺序安排的弱点是学生上Calculus 会很辛苦，因为没有Precalculus 基础，但优点是可以上AP 统计，或许对商科学生会有吸引力。
3. Algebra 2 -> AP Calculus AB -> AP Calculus BC
这种安排不建议，从Algebra 跳Calculus AB 的鸿沟太大，而从Calculus AB 跳到BC 的差异又太小，因为课纲内容有六成重复。
那么AP Precalculus 的定位到底是什么？
AP Precalculus 可视为可抵免College Algebra 的课程，而对于想要攻读理工科系的学生，反正都要上Precalculus，现在名称多了AP，GPA 又可以获得加乘，何乐而不为？
➤魔鬼藏在细节里
(免责声明：各校Precalculus 的课纲不同，本文参考的是Collegeboard 发布的建议AP Precalculus 课纲为基准，不代表各校的AP Precalculus 课程内容)
打开AP Precalculus 在官网上的简介，我们可以看到总共有四大主题: 函数、指数对数、三角函数、矩阵向量。亮点是矩阵向量不考，只考前三大单元。这对学生来说要准备的内容变少了。
以下是一门传统扎实的Precalculus 与AP Precalculus 的课纲比较：
| PRECALCULUS | AP PRECALCULUS |
| A. Polynomial and Rational Functions | A. Polynomial and Rational Functions |
| B. Exponential and Logarithmic Functions | B. Exponential and Logarithmic Functions |
| C. Trigonometric and Polar Functions | C. Trigonometric and Polar Functions |
| D. Applications of Trigonometry | |
| E. Sequences and Series | |
| F. Conic Sections | |
| G. Vectors, Matrices, Parametric Equations | G. Vectors, Matrices, Parametric Equations (不考) |
| H. Probability | |
| I. Limits* |
可以看到AP Precalculus 的课纲被删的剩的只剩骨架。虽然官方课纲建议为4 大单元，但实际只考了前三单元。我们来看看少了这些单元有什么影响:
D. 三角函数之应用： 这单元传统来说学的是求任何三角形之边、角、与面积，并透过棣美弗公式求出复数的根。
应用: 工程之计画设计、测量等。尤拉公式更是大二工程数学的必要知识。
E. 数列与级数： AP Calculus AB 与BC 的分水岭之一(BC 考，AB 不考)。如果没有学过数列与级数，在AP Calculus BC 碰到泰勒级数的时候可能会难上手。学过无穷级数之后，极限和定积分的概念也比较好吸收。
F. 圆锥曲线：桥梁钢缆力学之设计、卫星轨道等都会用到。
G. 向量、矩阵、参数方程式：物理中力学完全可用向量计算、亦可用参数方程式来表示和计算，此外电脑科学的计算原理则离不开矩阵。
8. 机率： 离散数学的基础，会在电脑科学学科中被运用。
9. 极限：不是每个Precalculus 课程都会讲到极限，较严谨的课程会先讲一部份。
由上可见，AP Precalculus 课纲欠缺的都是进阶工程科学所需要的基础。尽管这些科目等学生上大学之后也会学到，但是若能在高中有完善的准备则是更好。对于理工导向的学生，短期内(指成绩单成绩，AP 分数、SAT 分数) 没有显著的影响，但是以长久、完整、以及良好的科学素养的前提下，其实AP Precalculus 的课纲严重不足。
➤对于亚洲学生的影响：
学校的常规课程应该几乎要教到AP Precalculus 的内容。学生可能觉得会有困难的是应用题、模型题、以及变动率的题型，所以还是需要课程来精准地准备和熟悉题型。如果要走理工科，建议去考五月的AP 考试，让自己的AP 成绩单多一个五分。
如果要学science, its very likely that you will have to learn all of the topics anyway. Since the test only tests a fraction of what you have to learn anyway, why not take the course/test and score an easy AP on your transcript and a handsome 5 on your AP scores?
➤AP Calculus AB/BC 的差别
不管11 年级选了什么科目，如果12 年级要确定上AP Calculus 的话，选AB 还是BC 也是一门学问。简短来说，AB 是大学第一学期的微积分，BC 是大学第一跟第二学期的微积分。所以回到文章之前说的，不建议修完AB 之后再上BC 的原因是因为重复度太高。
| AP Calculus AB (12th grade)(大学一年级上学期微积分) | AP Calculus BC (12th grade)(大学一年级下学期微积分) |
| 1. Limits and Continuity | |
| 2. Differentiation and Applications | |
| 3. Integration and Applications | |
| 4. Differential Equations | |
| 5. Parametric Equations, Polar coordinates, vector valued functions | |
| 6. Sequences and Series | |
就课纲来说，AB 较简单。 AB 把大学一学期的课程稀释为一高中学年，而BC 的学生比较辛苦，进度就会真的比照大学的进度。除了第五单元的向量与参数函数、与第六章的数列与级数之外(这些AP Precalc 都不考喔)，在重叠的一二三四章内BC 会学得比较深，比较难，如: 部分积分、弧长、表面积、柱状壳法、罗必达法则等，反三角函数替代法。
就AP 考试成绩分布来说，AP Calculus BC 平均会有四成的人获得五分。平均来说，只要答题正确率达到六成，即可获得5 分的考试分数。
➤总结
就平均来说，学生AP Calculus BC 要轻松得分， Precalculus 的函数、指数对数、及三角函数要学的炉火纯青。三角函数尤其是许多学生的罩门(对IB 的学生也是，尤其IB AA HL 教得更深)，三角函数通常会横跨三个章节(基础、分析、应用)，里面的众多公式不及备载，光记得就很吃力了，更何况是轻松运用。好的Precalculus 老师可以提点学生这些公式的规律，让公式变得有逻辑，记一条等于记三条，更能事半功倍轻松掌握。
同时，不管是学校进度考试或是AP 考试前，学生也需要考前的统整与复习，以及有系统地抓出弱点。 AP Precalculus 的学科本身不艰涩，但是要如何不是透过大量背诵(经验证明通常硬背出来的只有短期效果，学生也无法应用于没见过的题型)则是一门学问。 AP Precalculus 的决胜点是如何花最少的力气，将观念融会贯通并能举一反三，同时难的也是需要高度自律和精准练习，毕竟练的多不如练的巧。
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